makes much more sense to live in the present tense

이런 짓하는 거 참 어찌보면 뻘짓인데 그래도 한번 했으니 띄운다는...

근데 참 루카스 공급곡선은 위치가 애매하다. 학부과정에서 다루기엔 좀 복잡하고, 대학원 과정에서 이렇게 세심하게 분석하는 건 헛짓이고...

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먼저 루카스는 기본가정으로 로빈슨 크루소 경제인 1인 섬경제의 총합이 시장이라고 가정합니다. 따라서 시장에 충격은 두가지가 생기는데 그중 첫번째가 개별 섬에서 발생하는 충격(idiosyncratic shock)이고 또 다른 하나가 총수요충격(aggregate demand shock)입니다.

이는 각각 와 로 가정한다고 봅니다. 이 때 각각의 충격은 확률변수로 각각의 분산은 와 로 나타내고, 평균값이 각각 0이라고 한다면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

이 때 중요한 것은 개별시장충격과 총수요충격은 각각 독립적이며 이는 수학적으로 말해 와 의 공분산이 0이라는 것과 같습니다. 또한 와 를 이용해 개별시장 z의 가격수준과 총시장가격수준을 나타내면 아래와 같습니다.

이는 z시장의 가격은 총시장가격에 z시장에만 발생한 충격을 더한 값과 같고, 총시장가격은 예상가격에 총수요충격을 더한 값과 같다는 의미입니다. 여기서 는 t-1기까지 총시장에서 발생한 모든 충격을 바탕으로 t기의 시장가격을 예측한 것으로 합리적 기대와 동일하다는 것을 말합니다.

또한 개별시장의 총공급은 자연수준의 생산량과 t기에 개별적으로 나오는 생산물을 더한 값으로 구성되는데 이를 식으로 나타내면 아래와 같습니다.

 

이 때 와 는 각각 t기 z시장의 자연산출량과 변동산출량을 의미하는 것으로 전자는 상수항에 추세치를 더한 값으로, 후자는 t기 z시장의 가격에서 t기 총시장의 예상가격을 뺀 값에 기간간 대체효과()를 곱한 값으로 나타낼 수 있습니다. 또한 자연산출량에서 추세치는 0이므로 t기 자연산출량은 상수로 나타낼 수 있음을 알 수 있습니다.

그런데 여기에서 변동산출량을 실제가격과 총시장의 정보인 을 통한 예측치만으로 나타내는 과정이 필요한 바 여기에서 활용되는 방법이 바로 축차적 투영(recursive projection)이며, 이는 약간의 개량경제학적 기술을 요하는 작업입니다.

먼저 투영이란 하나의 회귀식의 오차를 최소화하는 과정으로 이를 쉽게 이해하기 위해 직관적인 설명을 하고 시작하지요. 3차원 공간에 존재하는 평면이 존재한다고 가정해보도록 하겠습니다. 간단하게 말해 책상과 같은 평평한 바닥을 의미하죠. 이 때 평면과 예각을 이루는 직선을 공간상에 존재하도록 합니다. 볼펜이 있으시다면 이것을 90도 이하로 기울이시면 되겠지요. 그런 다음 그 밑에 직선이 길이가 동일한 직선 두개가 필요한 바 이것은 길이가 동일한 볼펜 두개면 됩니다. 이 볼펜들 중 하나는 처음의 볼펜 밑에서 평면상의 선분과 수직이 되게 하고, 다른 하나는 처음의 볼펜이 평면과 접하는 점에, 직각으로 놓인 볼펜과 겹치지 않도록 위치하도록 합니다. 바닥의 두 선분 중 어느 선분이 3차원상의 선분(볼펜)의 끝점과 가까울까요? 아마 공간상의 직선에 수직으로 놓인 직선이 더 가까울 것입니다.

이것이 투영이라는 개념의 직관적 이해입니다. 바닥에 놓인 두 선분은 각각 공간 상에 존재하는 선분의 예측치이고, 공간상의 직선과 바닥 선분들 간의 거리는 각각 오차항이라고 할 수 있습니다. 이 때 수직인 선분과 공간상의 선분의 거리가 가장 가까운바 이는 양자간의 오차가 가장 작다는 뜻이며, 이것을 가리켜 직교화(orthogona)라고 합니다. 

위의 설명은 단일변수인 경우의 투영입니다만 현재 우리에게 필요한 작업은 다변수에서의 투영입니다. 따라서 이 부분에서는 약간 수학적 기교를 사용하도록 하겠습니다.

먼저 다변수 회귀식 에 대한 식을 아래와 같이 나타내 봅시다.



여기에서 우리는 오차항 의 크기를 가장 작게 만드는 작업을 해야 하는데, 그 전에 먼저 투영이라는 작업을 했다는 표시를 위해 기대값을 나타내는 기호인 을 쓰는데 이는 뒤의 점을 통해 앞의 점을 예측했다는 것을 나타내는 것입니다.

먼저 을 통해 를 예측하면 아래와 같습니다.



먼저 위식은 예측값이기 때문에 예측오차가 존재하지 않습니다. 또한 위의 식은 이라는 정보를 이미 알고 있는 상태에서 예측을 한 것이기 때문에 첫번째 항인 는 원래의 값에 존재하는 것과 동일합니다. 또한 를 통한 예측이므로 두번째 항도 원래의 식에서 로 바뀌었다는 사실도 알 수 있습니다.

이 때 에서 를 빼면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.



위의 식은 다시 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 이 때 오차항 는 위의 본래 다변수 회귀식의 그것과는 다른 값입니다.



이는 과 를 모두 투영시켜 얻어낸 값, 즉 임을 직관적으로 알 수 있습니다. 여기서 그렇다면 오차항 를 최소화하기 위해서는 어떻게 해야 할까요? 먼저 위의 위식을 아래와 같이 변형해보지요.





여기서 다시 우리는 오차항 를 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.



그 다음 를 최소화하는 것은 최적화 문제를 푸는 것이고, 이 때 우리의 선택변수(choice variable)은 회귀식의 기울기를 나타내는 값인 입니다. 또한 기본적으로 회귀식 는 확률변수이므로 분산을 통해 최적화문제를 접근해야 합니다. 이 문제는 아래와 같이 나타낼 수 있겠죠.



여기에서 1계조건 구하는 거야 쉽죠.



위의 식을 다시 에 대해서 정리해주면,




와 같은 형태로 나오게 됩니다. 위의 과정은 이른바 OLS(Ordinary Least Square)라는 것으로 계량경제학에서 회귀분석과정에 있어 각변수 앞에 붙는 상수항을 예측할 때 쓰는 방법론으로 그쪽에서는 기본적으로 사용하는 방법론입니다. 통계학을 공부하신 분들은 잘 아시겠죠?

여기에서 다시 공급함수로 돌아가보죠. 최초의 공급함수 는 아래와 같이 쓸 수도 있습니다.



그런데 가만히 보면 가 와 그 형태가 동일함을 알 수 있고, 따라서 는 다시 아래처럼 표현할 수도 있습니다.



이 때, 는 개별시장과 총시장의 충격을 최소화하는 계수 즉 비체계적 오차항이며, 이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.



위 식에서 분자에 만 존재하는 이유는 개별시장 충격과 총시장 충격의 공분산이 0, 즉 상호독립적(serially independant)하기 때문입니다. 또한 위의 는 좀 더 단순화할 수 있는바 이는 아래와 같습니다.


         

위 식에서 가 사라진 이유는 위의 의 경우에서와 마찬가지로 개별시장과 총시장의 충격이 상호독립적이어서, 개별시장과 총시장의 충격의 분산이 0이 되니 총시장만의 정보인 로만 예측하는 경우의 추정치인  와 동일해지기 때문입니다.

이제 우리는 z시장의 공급함수를 알게 되었습니다. 그렇다면 총시장 공급함수는 어떻게 구할까요? 간단합니다. 개별시장의 공급을 모두 더하기만 하면 되지요. 이는 아래처럼 나타낼 수 있습니다.


    

이것이 루카스가 섬모형을 통해 도출한 공급함수입니다. 꽤나 복잡한 듯 보이지만 사실 따지고 들어가면 별 거 없는, 뭐 그런 내용이지요.

html 문서가 보시기 싫으신 분들께는 조하현 교수님의 '거시경제이론'이나 '고급거시경제이론' 외국서적으로는 David Romer의 Advanced Macroeconomics를 추천해드립니다. 다만 Romer의 경우 signal extracting에 대한 설명이 미진하고(대학원 과정이라서 이미 다들 econometrics 정도는 수강했을 거라고 가정한 듯 합니다.), 대신 노동의 기간간 대체를 기반으로 공급함수 도출과정을 설명하고, 완전정보와 불완전정보 모형 간의 차이를 보여주고 있습니다.